 earthmoon（地月） 
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1 楼：
有趣的文章，不知该贴到那个版。请学数...
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05年09月20日12点25分 |
【博弈论漫谈·互动认识论】
不 投 机 定 理
○ 云 儿
过年了，老爸又要派红包了。这一回，老爸想借着发红包的机会，考考两个儿子的智力。他说：“我这两个红包有点古怪。一个里面封的钱数是１０的ｋ次方，另一个里面是１０的（ｋ＋１）次方。我老糊涂了，记不清哪个红包里放了多少钱，也忘了ｋ是多少，只记得ｋ是从１到５的某一个数。你们俩兄弟就每人随便挑一个红包，看看自己运气如何吧。”
于是，两个儿子各拿了一个红包，回到自己房间里。老大打开红包一看，里面是１０００元，也即１０的３次方。他就想了：老二红包里可能有１０的４次方即１００００块，也有可能只有１０的２次方１００块，两者的可能性是对半开，期望值就是５０５０元，远比我这１０００块多，看来我是吃亏了。
另一个房间里，老二发现自己得了１００００块，私下里也在琢磨：老大的红包里，有１０００块和１０００００块的可能性各是二分之一，期望值是５０５００块。若是能跟他调换红包，等于以１００００块，博取５０５００元的期望值，自是大占便宜。
正想着，老爸来到老二房间，看了他的红包，说道：“我刚从老大房里来，知道你们各有多少钱了。咱们打个赌怎么样？你给我一块钱，我就替你去问问老大，愿不愿意跟你换。他要愿意呢，我就给你们掉换一下红包；不愿意呢，就算了。你干不干呀？”
老二很精明，心下盘算：调包当然对我有利。可是老大若不肯换，我岂不白扔一块钱吗？嗯，得先算算老大肯不肯换。倘若老大得１０００块，他对我红包的预期就是５０５０块；倘若他得了１０００００块，他对我红包的预期值就变成５０５０００块。两种情况他都肯换。哈哈，这赌注对我有利无弊，何乐而不为？
在老大房里，老爸如法炮制，老大也觉得此提议有利无弊，当然愿意。
调换之后，自然有人欢乐有人愁。老二以多换少，虽不高兴，也只埋怨运气不佳，不觉得自己计算有何不对。最伤心的是老爸。两个儿子看似精明，还是不免犯下愚蠢的推理错误——居然愿意打赌！
想想看，两个儿子的推理，错在哪里？
≈ ≈ ≈
是的，两个儿子都犯了致命的错误---没有考虑推理的互动性质。以老二为例，老二有104(即10000)，那么老大可能有105或者103。如果老大有103，那么老二肯定亏； 如果老大有105，那么看到老二来问，就知道老二绝对不会有106(因为106是最高值，换包不可能占便宜)，于是老大不会与他调换。所以，只要老大推理正确，老二去问他是否要换，绝对是只会吃亏而无任何便宜可占的事儿。老二的错误在于他没有考虑到老大在计算期望值的时候，会把老二要求换这一信息考虑进去。一旦双方正确地考虑了问题的互动性质，不赌博是双方的最佳选择。
此例可推而广之，假设ｋ是从１到ｎ之间某个数，结论仍然不变。事实上，对任何有限的ｎ，不管多大，不赌博总是双方的最佳选择，除非你肯定对方犯了推理错误。(有兴趣的，不妨自己证明试试看，再看本文后面所附答案)。
我们也可以换个角度看此问题。两人在没打开红包之前，每个红包装有多少钱的期望值是一样的，交换红包绝无好处，因而肯定没有人愿意付出一块钱费用去赌一睹运气。问题是，当他们打开红包，知道里面有多少钱之后，交换红包会不会成为双方同时可接受的选择呢？现代博弈论里面有个非常一般的定理，名叫“不投机定理(No-Speculation Thorem)”，对此作了彻底否定的回答。
通俗地说，不投机定理即是：如果每个人都能作正确的互动推理，那么，任何一桩在事先不可能为各方同时接受的交易，当各人各自取得进一步信息之后，也不可能为各方同时接受；无论个人信息的差异有多大，都不可能。上面这个例子中，交换红包既然在打开红包之前是不可接受的，那么，在打开红包后，也不可能成为双方同时可接受的。
这个定理直叫经济学家们目瞪口呆。它的一个直接推论就是，任何纯粹基于各人信息不同的赌博和投机，都是不可能的。如果此类事情发生的话，肯定是参与者中有人犯了推理错误。这就直接动摇了已往经济学家对于市场投机一类现象的理解。过去人们认为，投机的一大功能，就是所谓的“发现价格”---有理性的个人，根据自己手中所掌握的资料信息，提出不同的卖价买价，造成价格的涨落，从而使得有关该个股或商品的价值的信息，都在价格中反映出来。这样，投机就把有关商品价值的私人信息，变成了人人可见的公开信息---商品的价格。可是，不投机定理却暗示，此说在逻辑上有重大缺陷！
其实仔细想想，不投机定理并不难理解。股市投机，有人看涨，有人看跌，于是股票就转手。然而问题在于，假设每个人的资料和推理都没有错误，那么，当你愿卖时，有人愿在这个价格上买，这件事情本身就告诉你，他肯定掌握了一些你不知道的信息，你必须根据这一点来修改你的预期。而当每个都根据别人出价要价的行为修改自己预期后，就不会有纯粹投机性的交易发生！
最早发现这个问题的，大约就是２００１年获得诺贝经济学诺奖的斯蒂格利兹(Joseph Stiglitz)教授。他在１９７１年的一篇未发表论文“信息与资本市场”中，根据一些特例发现，假如人人都能正确推理---用经济学术语说就是人人都持有合理预期 (Rational Expectation)，则那些掌握了独家信息的人，根本不可能利用他所掌握的信息从市场中赚到额外的钱！到了１９７７年，经济学家兼博弈论专家克雷普斯 ( D. Kreps)，首先对此结论给出了一般的数学证明，以后又经过不少经济学家改进推广。现在许多高级博弈论教科书上都能找到不投机定理的证明，漂亮、严格、无隙可击。
我们知道，赌博、赛马、市场投机在现实生活中广泛存在，一些人可能是把它们当做娱乐而随便玩玩，但不少人就是专门抱着从投机中赢利的目的来干此行当。不投机定理从反面说明，在纯粹赌博和投机中，必定有人没有遵循“正确的”的理性推理法则，必定有人犯了“大错”。比如在股市投机中，假如玩空头(short)是正确的，则那些玩多头(long)的就肯定错了，不可能同时都对。也许，参与投机的人，个个都认为自己比别人更聪明，别人犯错的时候自己不犯错。然而这种看法，在逻辑上就有矛盾，与经济学里通常关于理性的界说，并不符合。理性的人，固然不是不可以犯错---由于信息不完全，他们完全可能在预测上犯错，但是象前面所述的纯逻辑错误，却是不应该大犯而特犯的。
于是，现实与理论之间，就出现了明显的矛盾。该当如何弥补呢？这是今天经济学家们面临的一个头疼问题。一个最直接最便当的的办法，就是部分放弃理性人假设。比如今天经济学里不少关于股市投机的模型，一方面假定有理性的的投机者存在，能够正确地推理；另一方面又假定有大量非理性的“噪声(noisy)”投机者，丝毫不顾逻辑推理，乱来乱有理。后面这些人存在的唯一效用，似乎就是给前者当靶子，使前者可以用他们掌握的优越信息从“噪声”投机者中赚钱。我不喜欢这类模型，觉得它们毫无来由地假定某些人天生就是傻瓜，太没道理。但是，当我看到现实股市中大量散户，盲目投资，损多益少，有时不免也想，可能这些经济学家的模型是对的，有些人分明就是傻客？
( 说明一下，本文谈的市场投机，仅指基于私人信息差异的纯粹投机性交易，不包括真正的投资性交易，比如根据有共识的市场长期趋势买卖股票，以及由于个人持股成本和资金需求变动而产生的股票转手等等，这些交易尽管也要承担收益风险，却不是经济学家所谈的投机现象。)
２００１年１０月２９日
附录：
假设ｋ是从１到ｎ之间某个数，ｎ有限，推理思路如下：
(1)、假如你拿到10(n+1)，你显然不会答应交换，因为这已经是最高金额，对方的钱肯定比你的少；
(2)、假如你拿到10n，你不会愿意交换；因为根据(1)，对方拿的钱在10(n+1)时，肯定不会愿意交换，愿意交换的时候，钱肯定比这少，于是你无法从交换中得利；
(3)、假如你拿到10(n-1)，你不会愿意交换；因为根据(1)和(2)，对方拿的钱等于或多于10n时，肯定不会愿意交换，于是你还是无法从交换中得利；
(4)、假如你拿到10(n-2)，你不会愿意交换；因为根据(1)、(2)和(3)，对方拿的钱等于或多于10(n-1)时，肯定不会愿意交换，你无法从交换中得利；
如此等等。。。。
(n+1)、假如你拿到10，你不会答应交换；因为根据(1)、(2)直至(n)，对方拿的钱等于或多于 102 = 100 时，肯定不会答应交换，于是你除了白白付出一块钱外，无法从交换中得利；
结论：无论你的钱是多少，都不应该打赌。
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我路过山的时候山不说话
我路过海的时候海不说话
我乘着的毛驴一步一步滴滴答答
我带着的倚天喑哑
人们说我爱着杨过大侠
找不到所以在峨嵋安家
其实我只是爱山中的烟雾
象十六岁那年绽放的烟花
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※来源: 【 推理之门 Tuili.Com 】.
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