 南瓜（pumpkin回家了） 
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8 楼：
Re:扰人的悖论
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02年08月22日20点42分 |
【peter6110在大作中谈到:】
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＞一天A去某赌场与那里的老板B赌钱,规则如下:当B说出一个自然数N之后,由A抛硬币,如果A连续抛出N-1次国徽,他将输给B8的N次幂元钱;如果A连续抛出N+1次国徽,B就输给A8的N+1次幂元(其他情况按平局算).若他们一直这样玩下去请问,这种玩法公平吗?
南瓜以为这个赌博对谁都永远没有公平可言。
解答：
需要重复的游戏规则： B要给出一个自然数N
A若想赢钱，必须连续抛出N+1次国徽。可以赢B：8的N+1次方元钱。
B若想赢钱，A只能抛出N-1次国徽，也就是说，A抛出国徽的数目多于N-1次或者少于N-1次，B就不能赢钱。如果B赢了，可以从A处得到：8的N次方元钱。
当然，这里有一个前提：所抛出的国徽数必须是连续的才有效。如果是断断续续，一会儿国徽，一会儿数字面值，那样游戏就违反规则了。
那好，我开始推导了。
（1）.当B说N=1时，
A要赢钱就需要连续抛出1+1=2次的国徽。B要想赢钱，A抛出的国徽数需为1-1=0次，就是说A抛硬币的那两次都不可以为国徽，B才能赢。
如果A赢一次可以得到：8的平方，即64元钱。B赢一次可以得到：8的零次方，即一元钱。
硬币有国徽和面值两个面，为了直观一些，假设：◎代表国徽，①代表面值。
那么抛两次会出现的结果，会有以下4种情况：◎◎，◎①，①◎，①①。
所以A赢的机率为：1/4。 B赢的机率为：1/4。
结论：A和B赢钱的机率相同，谁都可能赢钱。但是A若赢了，可以得到64元钱，而B若赢了，只能得到1元钱。所以B吃亏。
（2）.当B说N=2时，
A要想赢就需要连续抛出2+1=3次的国徽。B要想赢，A连续抛出的国徽数必须不多不少为2-1=1次。
如果A赢一次可以得到：8的3次方，即512元钱。B赢一次可以得到：8的平方，即64元钱。
抛三次硬币会出现：◎◎◎，◎◎①，◎①◎，①◎◎，①①◎，①◎①，◎①①，①①①，这8种情况。
所以A赢的机率为：1/8。 B赢的机率为：3/8。
结论：A赢B的机率为B赢A的机率的1/3，即抛了8次硬币，A只能赢一次而B可以赢三次，其他情况不分胜负。算一下A的钱：8的3次方=512元。B的钱为3*8的平方=192元。
怎么样？B的胜算虽高，但是仍然吃亏。
（3）.当B说N=3时，
A要想赢钱就需要连续抛出3+1次的国徽。B要想赢，A抛出的国徽数就不得不是连续的3-1=2次。
照例，先算一下钱数。A赢一次可以得到：8的4次方，即4096元钱。B赢一次可以得到：8的3次方，即512元钱。
我们看看，抛四次硬币会出现什么情况：◎◎◎◎，◎◎◎①，◎◎①◎，◎①◎◎，①◎◎◎，◎◎①①，◎①①◎，①①◎◎，◎①◎①，①◎①◎，①◎◎①，①①①◎，①①◎①，①◎①①，◎①①①，①①①①。
所以说A赢的机率为：1/16。B赢的机率为：5/16。
结论：A赢B的机率为B赢A的机率的1/5。算钱吧！A赢了的话，是4096元。B赢了的话，是5*512=2560元。
哇！B好像亏得越来越多了。
怎么办？难道B就一直这样吃亏吗？
不是的，接着看。
（4）.当B说N=5时，
A需要连续的抛出5+1=6次的国徽来才能赢。B自然是期盼A抛出的国徽数不多不少：5-1=4次，这样他就能赢了。
好，算帐。A赢一次可得到：8的6次方，即262144元，好多啊！B呢？B赢一次可以得到：8的5次方，即32768元钱，也不少呢！
毕竟要抛6次硬币，情况复杂的要人命，所以直接告诉大家A和B两人赢钱的机率。A的机率是：1/64。B的机率是：9/64。
结论：B的胜算时A的9倍。
你应该看出些什么了吧！算算A的钱：可以得到262144元。在算算B的钱：9*32768=294912。哈哈！B比A多赢33668元。
你发现什么原理了吗？
没错！就是这个：B叫的数越大，他赢钱的机会和数目就越高。
当B说出自然数N时，A一次的赢钱数是8的N+1次方，即8*8的N次方，B一次的赢钱数是8的N次方。A赢钱的机率是1/（2的N+1次方），B赢钱的机率是（2N-1）/（2的N+1次方）。所以B的赢钱数比A多：
［（2N-1）*8的N次方］-8*8的N次方=［（2N-1）-8］*8的N次方
当N≥5时，B可以赢钱。当N＜5时，A赢钱。
好孩子们，知道赌博的坏处了吧！
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推迷散雾亦难猜，
门中又套鬼怪题。
南海仙阁对思趣，
瓜藤月下乐逍遥。
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※来源: 【 推理之门 Tuili.Com 】.
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