 hoon（CAH）
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16 楼：
Re:一个有趣的问题（答案尚在讨论中...
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03年07月11日15点15分 |
大致上得到的通解，并不确认是最佳方案，只是根据拙者的思路所得到的解。而且纯粹的文字表述也许也并不很清晰，望谅解了。如果中间的推导有错误，也万望不吝指出。 :)
1）
a.假设钝角三角形的两锐角alpha和beta都小于45度，那么从钝角顶角分割与锐角同侧的等锐角（即向alpha那方向划出一个alpha的夹角；beta那边同理），角分割线交底边于两点a和b，共得到两个底角为alpha和beta的等边钝角三角形以及一个锐角三角形。那么原问题就转化为如何将等边钝角三角形（底角小于45度）分割为全锐角三角形。（其实，还是借鉴了林兄的思路，不过加上了一个限制条件而已）
b.将此等边钝角三角形（假设锐角底角为alpha＜45度）从钝角顶角K作高h，得到两个相同的直角三角形。以下取其中一个来解，另一个通过镜像将得到与之对称的分割。
c.在直角边ctg(alpha)h（即原底边的一半）取一点L，使之到直角顶点M（即原高h到原底边的交点）的距离为a。过a作平行于h的直线交对边于N，分割直角三角形成一个小直角三角形和一个四边形。这个四边形的四边长分别为h，h-tg(alpha)*a，a，a/cos(alpha)。
d.在h边上取一点O，使之到M的距离为a，连接L和O分割直角梯形成一个等腰直角三角形和一个四边形。连接四边形的对角O和N，形成三角形KNO和三角形LNO。
e.先对三角形KNO求解，其中角NKO=90-alpha（即原钝角顶角的平分角）,KO=h-a，KN=a/cos(alpha)。分别解得KON=90度以及KNO=90度的边界解，求得当1+tg(alpha)＜h/a＜1+1/[cos(alpha)*sin(alpha)]时（
alpha＜45度），三角形KON为锐角三角形。
f.再对三角形LNO求解，其中，角NLO=45度，LN=h-tg(alpha)*a，LO=tg(45度)*a。分别解得LON=90度以及LNO=90度的边界解，求得当1+tg(alpha)＜h/a＜2+tg(alpha)时（alpha＜45度），三角形LON为锐角三角形。
g.综合以上，得到当1+tg(alpha)＜h/a＜2+tg(alpha)时（alpha＜45度），四边形KLNO可被分割成两个锐角三角形。而此时等腰直角三角形LMO和它镜像的另半面构成一个大的等腰直角三角形。
h.在原来c.的步骤中，将点L向点M（即顶角平分线与底边的交点）靠拢无限小，即使现在的LM＜a且LM-＞a，那么c.步骤中得到的小直角三角形将变为锐角三角形。同样，在原来d.的步骤中，取点O时，向顶角K在靠拢无限小，即使现在的OM＞a且OM-＞a，那么在g.步骤中通过镜像合成的大等腰三角形的顶角将变成锐角。
i.由于g.中所得的h/a的解是某个范围域，而非精确点，所以h.中对于点的极限移动不会影响对中间四边形分解的结果。
所以，通过以上方法，可以将一个任意等腰钝角三角形（锐角底角alpha＜45度）分解成7个锐角三角形。
2)
当钝角三角形的一个底角大于45度时，也应该可以通过分解使之最终成为锐角三角形和某个/些等腰钝角三角形（底角alpha＜45度）的组合...具体步骤等我再整理一下思绪然后再贴吧...脑子已经有点混乱了 ^..^
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Finally, we said good bye......
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※来源: 【 推理之门 Tuili.Com 】.
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